I dag, når roen har senket seg på 3. dags jul, har jeg lyst til å berette om et av våre siste forskningsresultater. Dette skal jeg gjøre i et par lange, og ganske fagtunge, blogginnlegg. I dagens blogg innfører jeg noen grunnleggende begreper. I neste blogg presenterer jeg noen ferske resultater som går rett inn til kjernen av debatten om årsaken til dagens klimaendringer. Hvis du vil fortsette å lese, bør du brygge deg en kopp sterk kaffe og finne en god stol. En avec er heller ikke å forakte.

Hvis du nå har satt deg godt til rette, starter vi med et bibelsk utgangspunkt, men hopper elegant over juleevangeliet og går til skapelsesberetningen og til Josef, sønn av Jacop og Rakel, og hans eksil i Egypt. Josef fortolket faraoens drøm om de sju fete og de sju magre kuene som sju fete år etterfulgt av sju magre, avhengig av den mystiske Nilens lunefulle vannstand. Mystisk fordi årsakene til disse svingningene i Nilens vannføring ligger gjemt i variasjoner i regnfall i et kolossalt nedslagsfelt, og som strekker seg mange år tilbake i tid. På 1950-tallet gjennomførte hydrologen Harold Edwin Hurst (1880-1978) studier av oldtidens nitide opptegnelser av vannstanden gjennom mange hundre år og fant at svingningene nok hadde en tilfeldig natur, men med en spesiell type “hukommelse” (long-range memory) innebygd. Denne hukommelsen kvantifiserte han i en eksponent H, som senere naturlig nok har blitt kalt Hurst-eksponenten. Hvis H=0.5, så har vi ingen hukommelse, og tidsrekken av vannivåer er det vi kaller en Gaussisk, hvit støyprosess. Den er Gaussisk fordi hvis vi plotter opp en fordeling (et histogram) over variasjonene av vannstanden, så vil disse alltid ha formen til den den karakteristiske Gauss-kurven. Den er hvit, fordi styrken i svingningene på de forskjellige tidsskalaene (dager, uker måneder, år osv.) er likt representert, slik alle farger er likt representert i hvitt lys. Slik vil det være hvis variasjonen fra en dag til den neste (eller f. eks fra en måned til den neste) er uavhengige av hverandre. Hvis H ligger mellom 0 og 0.5, så vil de hurtige variasjonene være sterkere representert, og en positiv variasjon vil ha en tendens til å bli etterfulgt av en negativ, og vice versa. Hvis derimot H har en verdi mellom 0.5 og 1, så vil en positiv variasjon ha en tendens til å bli etterfulgt av en ny positiv variasjon, og en negativ av en ny negativ, og dette gjelder om vi snakker om tidsskalaer på dager, uker, måneder eller år. Denne persistensen i signalet har sammenheng med at de langsomme variasjonene er sterkere representert enn de hurtige, og dette medfører at signalet har hukommelse. En tilfeldig støyprosess av denne typen kalles en fraksjonell Gaussisk støy med Hurst-eksponent H.

Benoit Mandelbrot (1924 -) var opptatt av Hursts analysemetoder, og ville gjerne bruke dem i sine studier av svingninger i finansmarkedene. Han la imidlertid merke til at det også var andre ting enn hukommelse som kunne få H til å ta verdier større enn 0.5. Hvis variasjonene ikke er Gauss-fordelt, fordi det er en overrepresentasjon av ekstreme utslag (f.eks katastrofale flomsituasjoner eller finanscrash), så vil dette føre til en forhøyet H. Med sin sans for allegorier kalte Mandelbrot persistens på grunn av hukommelse for ”The Joseph Effect” og persistens på grunn av overhyppighet av ekstreme hendelser fikk betegnelsen ”The Noah Effect”. Mandelbrot satte Noah-effekten i forbindelse med en egen statistisk teori for sannsynlighetsfordelinger med ”tunge haler” utviklet av den franske matematikeren Paul Pierre Lévy (1886-1971). En tidsrekke av data der variasjonene på korte tidsskalaer er uavhengige av hverandre og er fordelt slik at ekstreme utslag er relativt sannsynlige (fordelingen har tunge haler), betegnes som Lévy-støy.

Tenk deg stor flokk av av døddrukne personer som samtidig strømmer ut i en Storgata i Tromsø på veg hjem fra julebord. Hver person tar omtrent like lange skritt omtrent like ofte, men det er helt tilfeldig om det neste steget er rettet nordover eller sørover. Hvis vi måler festdeltakernes avstand fra utgangspunket etter en viss tid t, så vil vi finne at posisjonene er Gauss-fordelt. De fleste vil fortsatt befinne seg nær start, men vi vil finne at vidden (standardavviket) på fordelingen øker ettersom tida går; stadig flere vil bevege seg langt bort fra utgangspunktet. Standardavviket vil øke som kvadratroten av tiden, eller uttrykt på en annen måte; som t opphøyd i H‘te potens, der H=0.5. Denne spredningen av deltakerne ettersom tiden går følger lovene for normal diffusjon og turen i ”lysløypa” kalles gjerne for Brownske bevegelser (eller slumpvandring på godt norsk). Hvis våre berusede venner derimot har evnen til å huske i noen grad hvilken retning de har gått i tidligere skritt, og ønsker å fortsette i den retningen, vil skrittene deres kunne beskrives som en fraksjonell støyprosess med H større enn 0.5, og standardavviket vil øke raskere. Vi snakker da om superdiffusjon eller fraksjonelle slumpvandringer.

Så langt har våre nattlige vandrere fulgt Josefs oppskrift. Sju skritt nordover kan etterfølges av nye sju skritt i nordlig retning, eller sju skritt sørover, men det er ingen sjumilsskritt. La oss nå tenke oss at enkelte er så heldige å få tak i taxi. De ulike sjåførene bruker ulik tid på å finne ut at passasjerene er en fare for inventaret i bilene, men alle vandrerne blir før eller senere satt av og må fortsette til fots inntil de eventuelt får tur med en ny bil. Disse bilturene fungerer som ekstremt lange skritt, og fører åpenbart til at festdeltakerne spres adskillig raskere. Den effektive verdien av H kan bli større enn 0.5 selv om det ikke er noen hukommelse involvert i prosessen. En slik transportprosess kan vi betegne som en Lévy-reise (-flight på engelsk). I praksis måler vi H ved å estimere standardavviket til fordelingen ved å ta kvadratroten til summen av kvadratet av distansene som vandrene har fjernet seg fra start. Et litt subtilt punkt her er at på grunn av de tunge halene til Lévy-fordelingen vil dette estimatet vokse over alle grenser hvis vi øker antall vandrere. Dette fordi flere vandrere øker sjansen for at noen kommer til å foreta ekstremt lange drosjeturer, og dette bidrar til å øke estimatet. Dette er et uttrykk for at standardavviket til Lévy-fordelingen, definert som grenseverdien av estimatet når antallet vandrere går mot uendelig, ikke eksisterer. Vi sier også gjerne at standardavviket er uendelig.

Selv om de grunnleggende årsakene til superdiffusjonen er svært forskjellige for en fraksjonell slumpvandring og en Lévy-reise, så er det ikke lett å skille dem fra hverandre bare ved å estimere standardavviket for et begrenset antall vandrere. Lettere blir det ikke av at det er mulig å tenke seg prosesser som er en blanding av de to, såkalte fraksjonelle Lévy-reiser. Dette er vandrere som både har en viss hukommelse (Josef-effekten) om retningen av foregående steg, og som derfor gir vandringen en persistens, og som samtidig ser sitt snitt til å ta sjumilssteg (Noah-effekten) i form av drosjeturer av varierende lengde. En slik fraksjonell Lévy-reise er fullstendig bestemt av to eksponenter, en som beskriver Josef-effekten og en som beskriver Noah-effekten, og en kombinasjon av disse forteller oss hvor sterk superdiffusjonen er.

For å gjøre forvirringen komplett har noen teoretikere funnet på å innføre enda en kategori av transportprosesser, nemlig såkalte Lévy-vandringer. Disse vandrerne er kun lettere beruset, og kan gå lange strekk i samme retning før de plutselig får anfall av akutt hukommelsestap og kan fortsette enten nordover eller sørover, uavhengig av hvilken retning de har gått før anfallet. Tiden som går mellom hvert anfall har en statistisk fordeling, og denne ventetidsfordelingen er ikke Gaussisk, men har tunge haler. Dette betyr at det er relativt sannsynlig at noen vandrere kan gå ekstremt lenge før de får et anfall, og kan ende opp med å fortsette i motsatt retning. Lévy-vandringer gir også opphav til superdiffusjon, men en viktig forskjell fra Lévy-reiser er at standardavviket til fordelingen av posisjoner etter en viss tid er endelig. Grunnen til dette er at selv om vi kan ha ekstremt lange ventetider mellom anfall, kan ingen vandrer ved tiden t ha kommet lengre enn en vandrer som har spasert i samme retning hele denne tiden. Uansett hvor mange vandrere vi har, kan ikke det estimerte standardavviket overskride distansen som denne edru vandreren kan tilbakelegge i løpet av denne tiden.

Disse tre typene superdiffusjon; fraksjonelle slumpvandringer, fraksjonelle Lévy-reiser, og Lévy-vandringer, representerer fundamentale kategorier av transportprosesser i situasjoner hvor tilfeldighet spiller en sentral rolle. Ofte er vi midlertid ikke spesielt interessert i transportprosesser, men heller i egenskapene til den støyen (den tilfeldige prosessen) som ligger til grunn. For vandrerne betyr dette de statistiske lovene som beskriver hvilken retning vandrerne vil velge for sitt neste steg, eller hvor lenge drosesjåførene vil kjøre før de kaster passasjerene ut. I min neste blogg skal jeg sette fokus på de statistiske lovene som bestemmer variasjonene i solaktiviteten og variasjonene i jordas globale temperatur. Her skal vi se at våre filosofiske betraktninger med utgangspunkt i Tromsøs uteliv vil komme til nytte i den vitenskapelige debatten omkring koblingen mellom solaktiviteten og jordas klima.

Følg med i neste nummer!